Murder by numbers

La musica antica e medievale era prevalentemente melodica e quando era polifonica considerava consonanze (cioè intervalli piacevoli all’orecchio) solamente la quinta e la quarta. Nel sedicesimo secolo avviene una rivoluzione, la terza comincia a diventare sempre più importante per la musica polifonica, la base dell’armonia diventa la triade cioè un accordo composto da tre note: la fondamentale, la terza (maggiore o minore) e la quinta, il famoso domiso che tutti sanno cavar fuori da un pianoforte. (se non sapete cosa sono le quarte le quinte e così via, rudimentalmente significa che se partite dal do e contate 5 note compresa quella da cui siete partiti avete fatto una quinta, per una spiegazione meno rudimentale andate su wikipedia)
Per avere un’idea di quanto sia cambiata la musica potete guardarvi questi quadri di Hieronimus Bosch con sottofondo di Josquin Desprez, compositore franco-fiammingo attivo tra la fine del ‘400 e l’inizio del ‘500. Ripensate a Ut queant laxis.

L’avete sentita la terza? No? Eccovela.
Ma qual è il problema con quello che avevano fatto i pitagorici? La scala pitagorica è facilissima da accordare anche su strumenti molto rudimentali e suona abbastanza bene per le melodie e bene per gli intervalli di quarta e di quinta, l’intervallo di terza maggiore è dato da 81/64 che è una frazione schifosa, si vede! E si sente pure a orecchio, infatti quella che suona bene all’orecchio di terza è 5/4 e i cori tendono ad accordarsi molto più facilmente sulla seconda frazione che sulla prima sostanzialmente per una questione di armonici (vi ci voglio a sentire l’ottantesimo armonico e farlo coincidere con il sessantatreesimo).
Ma 81/64=1,265625 e 5/4=1,2: la differenza non era enorme ma si sente. Qui si sente prima 5/4 e poi 81/64, il secondo intervallo suona un po’ scordato.
Il teorico musicale a cui dobbiamo quest’analisi è il veneziano Gioseffo Zarlino che nel 1558 pubblica le Istitutioni harmoniche riscoprendo, in realtà, il lavoro di 2000 anni prima di Archita che però era stato dimenticato durante il medio evo.
Zarlino propone una nuova scala, anzi un nuovo temperamento (così si chiama il modo di accordare una stessa scala) che prende il nome di naturale e in un certo senso è quello giusto, perché è fatto da frazioni semplici e quindi è quello che suona più stabile all’orecchio umano. Dal punto di vista fisico si può chiamare naturale perché è basato direttamente sulla serie armonica e non sulla comodità di accordatura.
La nuova scala è quella in giallo, sotto quella vecchia:

Ora le triadi costruite sul Do sul Fa e sul Sol sono consonanti in modo naturale, è nata l’armonia moderna. Ma i guai non sono ancora finiti.

Scusate, sono giorni che parlo di note, ma non abbiamo mai parlato di come mai si chiamano così.

Quindi, per chi si chiedeva come faceva in inglese la canzone:

• Do=doe=cerva
• Re=ray=raggio di sole
• Mi=me=me
• Fa=far=lontano
• Sol=sew=cucire
• La=la nota dopo il sol
• Ti=tea=tè

Questa canzone ha un antenato illustre nell’inno Ut Queant Laxis di Guido d’Arezzo, teorico musicale, maestro di coro, inventore della notazione musicale moderna, vissuto a cavallo tra il decimo e l’undicesimo secolo.
La sua scala non prevedeva il Si, che comparve circa un secolo dopo, e dava il nome alle note attraverso le prime sillabe dei versi di questo inno.

Ut queant laxis
resonare fibris
Mira gestorum
famuli tuorum,
Solve polluti
labii reatum,
Sancte Joannes.

Di Virgilio! Ce la traduci?

Dopo molti tentennamenti ho deciso di prendere la strada dell’ordine cronologico, invece di tornare indietro nel tempo partendo dagli strumenti moderni, vi avverto fin d’ora del fatto che tutto quello che dirò è valido solamente per la musica occidentale, ignorerò completamente i millenni di tradizione cinese, indiana e africana (di cui sappiamo molto) e quelli americani (di cui non sappiamo nulla).
Se vi risparmierete di darmi dell’eurocentrico colonialista forse un giorno mi studierò abbastanza etnomusicografia per parlarvene.
Quelli di voi che hanno fatto i compiti si saranno accorti che sulla chitarra solamente i primi tre armonici sono facili da distinguere e ottenere: il primo (1/2) è un’ottava sopra, il secondo (1/3) una dodicesima sopra e il terzo (1/4) due ottave sopra.
So benissimo che non ho ancora introdotto questi termini, ma provvedo, in parte, immediatamente: l’ottava è la distanza tra due note che hanno frequenze una il doppio dell’altra ed è (dopo l’unisono, cioè quando la frequenza è identica) l’intervallo che suona più stabile all’orecchio umano e probabilmente anche a quello equino e a quello marziano. È talmente stabile che le note che distano di un’ottava l’una dall’altra prendono lo stesso nome.
Note…in realtà non ne abbiamo ancora neanche una ma supponiamo di volerne costruire qualcuna, sicuramente avremo bisogno del secondo armonico (1/3) perché altrimenti avremmo una musica di una nota sola.
I pitagorici questa cosa l’avevano capita e quindi costruirono una scala utilizzando ripetutamente il due e il tre. A quanto pare non sono neanche stati i primi dato che le prime tracce della scala pitagorica risalgono alla musica babilonese, però anche Raffaello, nella scuola d’Atene riconosce una grande importanza alla scuola pitagorica.

Nel riquadro verde il buon vecchio Pitagora, nel riquadro rosso la posizione del dettaglio che rappresenta l’accordatura classica della lira.

Il grande vantaggio di questa scala era la relativa facilità con cui si poteva accordare uno strumento, infatti bastava utilizzare in sequenza il primo e il secondo armonico (e ogni tanto per comodità il terzo) per ottenere tutte le note, ma vediamo come:

• Abbiamo il do, vogliamo ottenere il sol. Il secondo armonico del do deve coincidere con il primo del do (1/2/(1/3)=3/2)
• Per ottenere dal do il fa dobbiamo usare il terzo armonico del do e il secondo del fa
• Per il re: secondo armonico del sol e primo del re
• Per il la: come dal sol al re e dal do al sol ma partendo dal re
• Il mi allo stesso modo degli altri partendo dal la e il si partendo dal mi

Quello che abbiamo usato non è altro che un metodo di moltiplicare le frequenze per 3/2 (una quinta giusta) ripetutamente e serve a costruire il temutissimo circolo delle quinte, alla base dell’armonia moderna.
Se avessimo proseguito avremmo ottenuto le alterazioni, cioè i diesis (#) e i bemolle (♭)

In realtà la scala pitagorica non era l’unico sistema di accordatura nemmeno in Grecia, Tolomeo, l’astronomo, ne aveva un altro, più vicino a quello moderno, però come spesso capita, la cultura greca ci è giunta filtrata dai medievali, di cui parleremo nella prossima puntata.
Intanto ecco la scala pitagorica.

Questo è il video musicale più bello della storia!

La canzone è di quel genio di Jonathan Coulton, quello che faceva una canzone a settimana.

A un certo punto dello studio della goniometria, quando lo studente ha la testa completamente piena di formule di addizione e sottrazione di archi, formule di riconduzione al primo quadrante, formule riguardanti l’arco metà, metodi di soluzione di equazioni e disequazioni goniometriche lineari, omogenee e chi più ne ha più ne metta si incontrano le formule di prostaferesi.
Prostaferesi è l’unione del greco per addizione e il greco per sottrazione ed è il nome dato dal gesuita (è sempre colpa loro!) Cristopher Clavius a un metodo approssimato per fare le moltiplicazioni prima dell’avvento dei logaritmi. Pare che il detto dotto gesuita nello sviluppo del suo metodo scoprì alcune formule trigonometriche a cui dette lo stesso nome.
Sono sicuro che anche quelli di voi che sono giunti al quinto anno di fisica faticano a ricordare le malefiche formule, anzi probabilmente faticano a ricordare una singola occasione in cui se ne sono serviti e devo ammettere di trovarmi anch’io nella medesima situazione.
Ecco la prima (e l’ultima che vedremo):

Queste equazioni inutili, a quanto pare, sono molto utili se siete un accordatore di pianoforti (ma quanti sono questi benedetti accordatori di pianoforti?).
Per convincerci di questo possiamo riscrivere la formula in maniera leggermente diversa:

Lo vedo che non è cambiato molto, ma si dà il caso che i toni puri (senza armoniche) siano funzioni trigonometriche e che quegli alfa e beta siano le frequenze (a meno di un fattore 2π).
Però fin qui le cose sono troppo astratte, quindi mettiamoci subito nei panni dell’accordatore di pianoforti.
Se avete mai guardato dentro un pianoforte avrete visto che quasi tutte le note vengono prodotte da due o tre corde che sono accordate all’unisono, cioè dovrebbero produrre la stessa nota (la stessa frequenza) quando vengono colpite.
Il nostro accordatore ha quasi finito, le due corde vibrano a delle frequenze molto vicine, che cosa sente? Osserviamo la seconda formula: il seno a secondo membro (ihihih seno, ihihih membro) ha una frequenza che è pari alla media delle frequenze delle due corde (che tanto erano vicine…), il coseno invece ha come frequenza la metà della differenza, che sarà un numero piccolo.
Frequenza piccola è come dire periodo lungo, quindi il coseno fa da inviluppo (curva blu) al seno più o meno così:

Ho un po’ barato per fare la figura perché se usavo delle frequenze realistiche non si vedeva un tubo, mentre le nostre orecchie sono in grado di apprezzare le differenze.
Nel primo file c’è un la seguito da un la scordato del 2% per cento, poi di nuovo il la ben accordato seguito da un la scordato del 1% e fin qui si sente bene la differenza a orecchio. Gli ultimi due secondi contengono un la accordato seguito da un la scordato del 1 ‰ (un per mille!! un niente) e infatti la differenza è impercettibile.
Vediamo se ci vengono incontro le formule di prostaferesi, nel secondo file si sentono gli stessi la scordati, però suonati contemporaneamente al la accordato per due secondi ciascuno.
In tutti e tre i casi si sente chiaramente l’inviluppo come un crescere e decrescere periodico dell’intensità del suono, e com’era previsto dalla formula, il periodo è tanto più grande quanto è più piccola la differenza.
Questo fenomeno prende il nome di battimenti.

Nel post precedente vi avevo detto che riconosciamo i timbri di strumenti diversi attraverso le intensità relative degli armonici e visto che i potenti mezzi tecnologici ce lo permettono ora ve lo faccio pure vedere e ascoltare (basta cliccare sul nome dello strumento).
Prima però volevo dire un paio di parole sui grafici che presto vedrete. Quello che state guardando è lo spettro di potenza (logaritmo del suo modulo quadro della famigerata trasformata di Fourier per l’esattezza), in soldoni questo è lo stesso grafico che si vede sull’equalizzatore dello stereo, solamente a una risoluzione tale permettere di distinguere note diverse.
Sulle ascisse c’è la frequenza, cioè le note, sulle ordinate la potenza in decibel.
Si vede subito che ci sono dei picchi molto stretti e più o meno equispaziati: molto stretti perché altrimenti non sentiremmo una nota precisa, equispaziati perché 1, 2, 3… che erano al denominatore nella lunghezza della corda di cui vi dicevo prima sono equispaziati anch’essi. Ebbene sì quella che si vede è la serie armonica!
Avrete anche notato che i picchi scendono dolcemente dopo un primo più alto degli altri, quel primo è la fondamentale, quanto più un suono è puro, tanto più quel picco è più alto degli altri, infatti il clarinetto è piuttosto puro e la tromba è molto sporca e la differenza si vede.

Violoncello

Clarinetto

Tromba

Piano

Non esitate a fare domande nei commenti sulle ultime due puntate, sia se c’è qualcosa che non è chiaro, sia se avete qualcosa di carino da aggiungere.

Primo articolo di una serie sul rapporto tra matematica, fisica e musica ispirato da Giacomino una sera a Villa Celimontana.

In matematica la successione armonica è questa sequenza di numeri razionali:

immagino che siate tutti in grado di capire come continua e dove va a finire.
La cosa interessante è perché si chiama armonica, la risposta è nella fisica delle corde vibranti.
Come molti di voi sapranno, dato che condividono gli studi con me, una corda può vibrare in diversi modi, e questi modi di vibrare sorprendentemente si chiamano modi.

Come si vede in figura la corda può vibrare tutta insieme, oppure con un nodo, due e così via, la cosa simpatica è che in realtà vibra sempre in più modi contemporaneamente e le intensità relative dei modi ci permetteno di distinguere il timbro di strumenti diversi.
Il motivo per cui non sto considerando gli strumenti a fiato, i metallofoni e tutto quello che non è una corda vibrante è che questo modellino della corda vibrante in realtà è abbastanza una schifezza anche per le corde, ma per quello che ci serve va benissimo per descrivere anche una colonna d’aria o un pezzo d’acciaio.
Visto che vi avevo promesso la musica, adesso non mi posso esimere:

Questa è la serie armonica (ovviamente non tutta) e la potete ascoltare qui pura e qui sovrapposta al tono fondamentale.
Adesso riprendendo in mano la chitarra possiamo sperimentare a riprodurre gli armonici tenendo il dito a metà (un terzo di, un quarto di…) corda senza schiacciare e pizzicando; ci si accorge quasi subito che, eccezion fatta per l’armonico a metà corda gli altri non si trovano in corrispondenza esatta delle stanghette dei tasti.
Il perché lo scopriremo nelle prossime puntate.