Murder by numbers

In onore di chi abita a via Ampère a Milano.
Ho scovato questa canzoncina sulla legge di Ampère.
Ecco l’mp3. Testo e accordi. Traduco il testo su richiesta.

Ieri sono stato al seminario di Alan Sokal. L’argomento era polinomi cromatici e modello di Potts, cioè un problema legato a come si colorano le cartine e a certi modelli magnetici. Non mi fate entrare troppo nel dettaglio, piuttosto andatevi a vedere qualche pubblicazione.
È stato un seminario chiarissimo, molto didattico e di interesse molto generale. Bello.
Peccato che dense e dance siano omofoni.
Ma oltre a essere un fisico notevole e un didatta eccezionale Sokal è diventato famoso fuori dalla nostra cerchia ristretta nel 1996, anno nel quale ha pubblicato due articoli contemporaneamente: uno su Social Text [html] [pdf] e uno su Lingua Franca [html] [pdf].
Per quelli di voi che non hanno letto Come gli stregoni hanno conquistato il mondo di Wheen riassumo brevemente il contenuto dei due saggi.
Il primo, intitolato Attraversando i confini: verso un’ermeneutica trasformativa della gravità quantistica, è una parodia di 35 pagine dei testi pubblicate sulle riviste post-moderne di studi culturali. Il secondo L’esperimento di un fisico sugli studi culturali è una smentita totale di quanto scritto nel primo e una spiegazione delle motivazioni di una simile burla.
Nonostante l’apparente spirito goliardico, le ragioni di Sokal erano molto serie: ritenendosi preoccupato per lo stato del rigore intellettuale nell’ambiente accademico americano, voleva dimostrare che certe riviste avrebbero pubblicato qualsiasi cosa sostenesse le loro tesi senza neanche consultare qualche esperto per le faccende più tecniche.
Di seguito qualche estratto del primo articolo in una mia traduzione.

Ma profondi spostamenti concettuali nella scienza del ventesimo secolo hanno minato questa metafisica cartesio-newtoniana; studi revisionisti di storia e filosofia della scienza hanno gettato ulteriori dubbi sulla sua credibilità; e, più recentemente, critiche femministe e poststruttraliste hanno demistificato il contenuto essenziale della pratica scientifica occidentale più in voga, rivelando l’ideologia di dominazione nascosta dietro la facciata di “obiettivià”. È quindi divenuto sempre più apparente che la “realtà” fisica, non meno della “realtà” sociale, è in fondo un costrutto sociale e linguistico; che la “conoscenza” scientifica, piuttosto che essere oggettiva, riflette e codifica le ideologie dominanti e le relazioni di potere della cultura che le ha prodotte; che le pretese di verità della scienza sono cariche di teorie e autoreferenziali; e conseguentemente, che il dibattito della comunità scientifica, nonostante tutto il suo valore innegabile, non può asserire uno status epistemologico privilegiato rispetto a narrative contro-egemoniche emanate da comunità dissidenti o marginalizzate.

E poi

In questo modo il gruppo di invarianza infinito-dimensionale erode la distinzione tra osservatore e osservato; il π di Euclide e la G di Newton, precedente pensate come costanti e universali, sono ora percepite nella loro ineluttabile storicità; e l’osservatore putativo diventa fatalemente decentrato, disconnesso da ogni collegamento epistemico a un punto dello spazio-tempo che non può più essere definito dalla sola geometria.

Infine l’amara conclusione del secondo articolo:

Alla fine, ho ricorso alla parodia per una semplice ragione pragmatica. I bersagli della mia critica sono ormai diventati una sottocultura auto-perpetuante che tipicamente ignora (o didegna) le critiche ragionate provenienti dall’esterno. In una situazione del genere era richiesta una dimostrazione più diretta degli standard culturali della sottocultura. Ma come si può mostrare che il re è nudo? La satira è di gran lunga l’arma migliore; e il colpo che non non ci si scrolla di dosso è quello che ci si è procurati da soli. Ho offerto agli editori diSocial Text un’occasione per dimostrare il loro rigore intellettuale. Hanno passato il test? Non credo.

Non dico questo con gioia ma con tristezza. Dopo tutto, anche io sono di sinistra (durante il governo sandinista ho insegnato matematica all’Università nazionale del Nicaragua). Su quasi tutti i problemi politici – inclusi molti di quelli che riguardano la scienza e la tecnologia – sono dalla parte degli editori di Social Text. Ma sono di sinistra (e femminista) per via dell’evidenza e della logica, non malgrado esse. Perché alla destra dovrebbe essere consentito monopolizzare il vantaggio intellettuale?

E perché questo nonsense auto-compiaciuto – qualsiasi il suo orientamento politico – deve essere lodato come l’apice del risultati accademici?

Vi lascio con una chicca: un generatore di articoli postmodernisti.

La musica antica e medievale era prevalentemente melodica e quando era polifonica considerava consonanze (cioè intervalli piacevoli all’orecchio) solamente la quinta e la quarta. Nel sedicesimo secolo avviene una rivoluzione, la terza comincia a diventare sempre più importante per la musica polifonica, la base dell’armonia diventa la triade cioè un accordo composto da tre note: la fondamentale, la terza (maggiore o minore) e la quinta, il famoso domiso che tutti sanno cavar fuori da un pianoforte. (se non sapete cosa sono le quarte le quinte e così via, rudimentalmente significa che se partite dal do e contate 5 note compresa quella da cui siete partiti avete fatto una quinta, per una spiegazione meno rudimentale andate su wikipedia)
Per avere un’idea di quanto sia cambiata la musica potete guardarvi questi quadri di Hieronimus Bosch con sottofondo di Josquin Desprez, compositore franco-fiammingo attivo tra la fine del ‘400 e l’inizio del ‘500. Ripensate a Ut queant laxis.

L’avete sentita la terza? No? Eccovela.
Ma qual è il problema con quello che avevano fatto i pitagorici? La scala pitagorica è facilissima da accordare anche su strumenti molto rudimentali e suona abbastanza bene per le melodie e bene per gli intervalli di quarta e di quinta, l’intervallo di terza maggiore è dato da 81/64 che è una frazione schifosa, si vede! E si sente pure a orecchio, infatti quella che suona bene all’orecchio di terza è 5/4 e i cori tendono ad accordarsi molto più facilmente sulla seconda frazione che sulla prima sostanzialmente per una questione di armonici (vi ci voglio a sentire l’ottantesimo armonico e farlo coincidere con il sessantatreesimo).
Ma 81/64=1,265625 e 5/4=1,2: la differenza non era enorme ma si sente. Qui si sente prima 5/4 e poi 81/64, il secondo intervallo suona un po’ scordato.
Il teorico musicale a cui dobbiamo quest’analisi è il veneziano Gioseffo Zarlino che nel 1558 pubblica le Istitutioni harmoniche riscoprendo, in realtà, il lavoro di 2000 anni prima di Archita che però era stato dimenticato durante il medio evo.
Zarlino propone una nuova scala, anzi un nuovo temperamento (così si chiama il modo di accordare una stessa scala) che prende il nome di naturale e in un certo senso è quello giusto, perché è fatto da frazioni semplici e quindi è quello che suona più stabile all’orecchio umano. Dal punto di vista fisico si può chiamare naturale perché è basato direttamente sulla serie armonica e non sulla comodità di accordatura.
La nuova scala è quella in giallo, sotto quella vecchia:

Ora le triadi costruite sul Do sul Fa e sul Sol sono consonanti in modo naturale, è nata l’armonia moderna. Ma i guai non sono ancora finiti.

Scusate, sono giorni che parlo di note, ma non abbiamo mai parlato di come mai si chiamano così.

Quindi, per chi si chiedeva come faceva in inglese la canzone:

• Do=doe=cerva
• Re=ray=raggio di sole
• Mi=me=me
• Fa=far=lontano
• Sol=sew=cucire
• La=la nota dopo il sol
• Ti=tea=tè

Questa canzone ha un antenato illustre nell’inno Ut Queant Laxis di Guido d’Arezzo, teorico musicale, maestro di coro, inventore della notazione musicale moderna, vissuto a cavallo tra il decimo e l’undicesimo secolo.
La sua scala non prevedeva il Si, che comparve circa un secolo dopo, e dava il nome alle note attraverso le prime sillabe dei versi di questo inno.

Ut queant laxis
resonare fibris
Mira gestorum
famuli tuorum,
Solve polluti
labii reatum,
Sancte Joannes.

Di Virgilio! Ce la traduci?

Dopo molti tentennamenti ho deciso di prendere la strada dell’ordine cronologico, invece di tornare indietro nel tempo partendo dagli strumenti moderni, vi avverto fin d’ora del fatto che tutto quello che dirò è valido solamente per la musica occidentale, ignorerò completamente i millenni di tradizione cinese, indiana e africana (di cui sappiamo molto) e quelli americani (di cui non sappiamo nulla).
Se vi risparmierete di darmi dell’eurocentrico colonialista forse un giorno mi studierò abbastanza etnomusicografia per parlarvene.
Quelli di voi che hanno fatto i compiti si saranno accorti che sulla chitarra solamente i primi tre armonici sono facili da distinguere e ottenere: il primo (1/2) è un’ottava sopra, il secondo (1/3) una dodicesima sopra e il terzo (1/4) due ottave sopra.
So benissimo che non ho ancora introdotto questi termini, ma provvedo, in parte, immediatamente: l’ottava è la distanza tra due note che hanno frequenze una il doppio dell’altra ed è (dopo l’unisono, cioè quando la frequenza è identica) l’intervallo che suona più stabile all’orecchio umano e probabilmente anche a quello equino e a quello marziano. È talmente stabile che le note che distano di un’ottava l’una dall’altra prendono lo stesso nome.
Note…in realtà non ne abbiamo ancora neanche una ma supponiamo di volerne costruire qualcuna, sicuramente avremo bisogno del secondo armonico (1/3) perché altrimenti avremmo una musica di una nota sola.
I pitagorici questa cosa l’avevano capita e quindi costruirono una scala utilizzando ripetutamente il due e il tre. A quanto pare non sono neanche stati i primi dato che le prime tracce della scala pitagorica risalgono alla musica babilonese, però anche Raffaello, nella scuola d’Atene riconosce una grande importanza alla scuola pitagorica.

Nel riquadro verde il buon vecchio Pitagora, nel riquadro rosso la posizione del dettaglio che rappresenta l’accordatura classica della lira.

Il grande vantaggio di questa scala era la relativa facilità con cui si poteva accordare uno strumento, infatti bastava utilizzare in sequenza il primo e il secondo armonico (e ogni tanto per comodità il terzo) per ottenere tutte le note, ma vediamo come:

• Abbiamo il do, vogliamo ottenere il sol. Il secondo armonico del do deve coincidere con il primo del do (1/2/(1/3)=3/2)
• Per ottenere dal do il fa dobbiamo usare il terzo armonico del do e il secondo del fa
• Per il re: secondo armonico del sol e primo del re
• Per il la: come dal sol al re e dal do al sol ma partendo dal re
• Il mi allo stesso modo degli altri partendo dal la e il si partendo dal mi

Quello che abbiamo usato non è altro che un metodo di moltiplicare le frequenze per 3/2 (una quinta giusta) ripetutamente e serve a costruire il temutissimo circolo delle quinte, alla base dell’armonia moderna.
Se avessimo proseguito avremmo ottenuto le alterazioni, cioè i diesis (#) e i bemolle (♭)

In realtà la scala pitagorica non era l’unico sistema di accordatura nemmeno in Grecia, Tolomeo, l’astronomo, ne aveva un altro, più vicino a quello moderno, però come spesso capita, la cultura greca ci è giunta filtrata dai medievali, di cui parleremo nella prossima puntata.
Intanto ecco la scala pitagorica.

A un certo punto dello studio della goniometria, quando lo studente ha la testa completamente piena di formule di addizione e sottrazione di archi, formule di riconduzione al primo quadrante, formule riguardanti l’arco metà, metodi di soluzione di equazioni e disequazioni goniometriche lineari, omogenee e chi più ne ha più ne metta si incontrano le formule di prostaferesi.
Prostaferesi è l’unione del greco per addizione e il greco per sottrazione ed è il nome dato dal gesuita (è sempre colpa loro!) Cristopher Clavius a un metodo approssimato per fare le moltiplicazioni prima dell’avvento dei logaritmi. Pare che il detto dotto gesuita nello sviluppo del suo metodo scoprì alcune formule trigonometriche a cui dette lo stesso nome.
Sono sicuro che anche quelli di voi che sono giunti al quinto anno di fisica faticano a ricordare le malefiche formule, anzi probabilmente faticano a ricordare una singola occasione in cui se ne sono serviti e devo ammettere di trovarmi anch’io nella medesima situazione.
Ecco la prima (e l’ultima che vedremo):

Queste equazioni inutili, a quanto pare, sono molto utili se siete un accordatore di pianoforti (ma quanti sono questi benedetti accordatori di pianoforti?).
Per convincerci di questo possiamo riscrivere la formula in maniera leggermente diversa:

Lo vedo che non è cambiato molto, ma si dà il caso che i toni puri (senza armoniche) siano funzioni trigonometriche e che quegli alfa e beta siano le frequenze (a meno di un fattore 2π).
Però fin qui le cose sono troppo astratte, quindi mettiamoci subito nei panni dell’accordatore di pianoforti.
Se avete mai guardato dentro un pianoforte avrete visto che quasi tutte le note vengono prodotte da due o tre corde che sono accordate all’unisono, cioè dovrebbero produrre la stessa nota (la stessa frequenza) quando vengono colpite.
Il nostro accordatore ha quasi finito, le due corde vibrano a delle frequenze molto vicine, che cosa sente? Osserviamo la seconda formula: il seno a secondo membro (ihihih seno, ihihih membro) ha una frequenza che è pari alla media delle frequenze delle due corde (che tanto erano vicine…), il coseno invece ha come frequenza la metà della differenza, che sarà un numero piccolo.
Frequenza piccola è come dire periodo lungo, quindi il coseno fa da inviluppo (curva blu) al seno più o meno così:

Ho un po’ barato per fare la figura perché se usavo delle frequenze realistiche non si vedeva un tubo, mentre le nostre orecchie sono in grado di apprezzare le differenze.
Nel primo file c’è un la seguito da un la scordato del 2% per cento, poi di nuovo il la ben accordato seguito da un la scordato del 1% e fin qui si sente bene la differenza a orecchio. Gli ultimi due secondi contengono un la accordato seguito da un la scordato del 1 ‰ (un per mille!! un niente) e infatti la differenza è impercettibile.
Vediamo se ci vengono incontro le formule di prostaferesi, nel secondo file si sentono gli stessi la scordati, però suonati contemporaneamente al la accordato per due secondi ciascuno.
In tutti e tre i casi si sente chiaramente l’inviluppo come un crescere e decrescere periodico dell’intensità del suono, e com’era previsto dalla formula, il periodo è tanto più grande quanto è più piccola la differenza.
Questo fenomeno prende il nome di battimenti.

Nel post precedente vi avevo detto che riconosciamo i timbri di strumenti diversi attraverso le intensità relative degli armonici e visto che i potenti mezzi tecnologici ce lo permettono ora ve lo faccio pure vedere e ascoltare (basta cliccare sul nome dello strumento).
Prima però volevo dire un paio di parole sui grafici che presto vedrete. Quello che state guardando è lo spettro di potenza (logaritmo del suo modulo quadro della famigerata trasformata di Fourier per l’esattezza), in soldoni questo è lo stesso grafico che si vede sull’equalizzatore dello stereo, solamente a una risoluzione tale permettere di distinguere note diverse.
Sulle ascisse c’è la frequenza, cioè le note, sulle ordinate la potenza in decibel.
Si vede subito che ci sono dei picchi molto stretti e più o meno equispaziati: molto stretti perché altrimenti non sentiremmo una nota precisa, equispaziati perché 1, 2, 3… che erano al denominatore nella lunghezza della corda di cui vi dicevo prima sono equispaziati anch’essi. Ebbene sì quella che si vede è la serie armonica!
Avrete anche notato che i picchi scendono dolcemente dopo un primo più alto degli altri, quel primo è la fondamentale, quanto più un suono è puro, tanto più quel picco è più alto degli altri, infatti il clarinetto è piuttosto puro e la tromba è molto sporca e la differenza si vede.

Violoncello

Clarinetto

Tromba

Piano

Non esitate a fare domande nei commenti sulle ultime due puntate, sia se c’è qualcosa che non è chiaro, sia se avete qualcosa di carino da aggiungere.